i'm just a kid

Pembahasan berikutnya tentang osilator harmonik yaitu mencari solusi eigen (nilai eigen dan fungsi eigen). Solusi eigen dibahas pada mata kuliah fisika kuantum. Ada beberapa metode untuk mencari solusi eigen antara lain; mekanika matriks Heisenberg, persamaan gelombang Schrodinger, dan metode integral jejak. Tiap metode mempunyai kerumitannya masing-masing jadi pemilihan tergantung dari selera J dan pada kesempatan ini metode yang digunakan adalah persamaan gelombang Schrodinger.

Energi potensial dari osilator harmonik adalah :

Persamaan Schrodinger (tidak bergantung waktu) :

dimana V(x) adalah energi potensial. Jadi bentuk persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik adalah :

Misalkan

 dengan solusi :
 dari solusi tersebut jika dimasukkan kembali ke persamaan yang telah disusutkan maka :

dimana

atau

Rumus rekursi di atas mengisyaratkan bahwa ekspansi deret akan berhingga dan berhenti pada r = n jika [2n + 1 – (α/β)] = 0, atau α/β = 2n+1. Dengan mensubtitusi kembali α dan β pada pemisalan awal maka didapatkan  :
 dimana E_n disebut dengan nilai eigen

Untuk harga α/β = 2n+1 maka persamaan diferensial untuk H  berubah menjadi :

Bentuk persamaan tersebut tidak lain adalah persamaan diferensial Hermite. Salah satu cara menyelesaikan persamaan tersebut yaitu menggunakan fungsi pembangkit dari PD fungsi Hermite yang dinyatakan sebagai :

Dengan demikian solusi untuk persamaan awal U(x) atau fungsi eigen adalah :

Pentingnya osilator harmonik dalam fisika klasik maupun modern tidak terletak pada persyaratan ketat bahwa gaya pemulih yang sebenarnya memenuhi hukum Hooke yang jarang dijumpai, tetapi pada kenyataan bahwa gaya pemulihnya tereduksi agar memnuhi hukum Hooke untuk pergeseran yang kecil. Sebagai hasilnya, setiap sistem yang melakukan getaran kecil terhadap kedudukan setimbangnya berperilaku seperti osilator harmonik sederhana. Contohnya sebuah atom dalam kisi kristal atau vibrasi molekul dwiatom.

Pada beberapa buku teks, konsep penyelesaian persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik mungkin berbeda, namun solusi eigen akan selalu sama. Hal yang ditekankan pada osilator harmonik ini adalah :